2018-A1 : le gérant d’un casino s’intéresse à l’évolution de son capital en fonction du temps. Il souhaite en particulier étudier la probabilité qu’il puisse un jour être ruiné. Mots clefs : Loi de Poisson, lois exponentielles, marches aléatoires, conditionnement, théorèmes asymptotiques.

2018-A2 : nous nous intéressons au comportement de la vitesse de propagation d'un polluant dans un écoulement d'eau en sous-sol rocheux stratifié. On considère un modèle plan qui est constitué de strates horizontales homogènes. Un modèle stochastique est proposé pour deux mécanismes qui définissent l'évolution du polluant : les collisions avec les particules du fluide d'une part, le transport passif dû à l'écoulement d'autre part. Mots clefs : Marche aléatoire, théorèmes limites, variables non indépendantes.

2018-A3 : étant donné un ensemble aléatoire de points dans l'espace, on cherche une méthode pour estimer l'agrégation de ces points ou au contraire leur dispersion. Mots clefs : Loi uniforme, loi binomiale, loi de Poisson, estimation, tests. Fichier de données.

 

2015-A1 : On analyse un problème issu de l’informatique consistant à répartir de manière équitable un grand nombre de tâches entre deux processeurs parallèles. Mathématiquement, il s’agit de répartir une suite de variables aléatoires X 1 , . . . , X N indépendantes et uniformément distribuées en deux sous-ensembles disjoints de telle manière que les sommes de ces variables calculées sur les deux sous ensembles soient les plus proches possible. Mots clefs : Convergence en loi, théorème de la limite centrale, fonction caractéristique.

 

2015-A2 : Nous abordons certaines questions relatives à l’inférence statistique de données issues de modèles de survie, lorsque ces données sont censurées, c’est à-dire partiellement observées. Mots clefs : Loi exponentielle, loi du Chi-deux, simulation de variables aléatoires, intervalle de confiance, test.

2015-A3 : On étudie comment, dans un espace métrique initialement grand, les distances peuvent être fortement diminuées si on ajoute quelques “raccourcis” aléatoires. Cela peut modéliser diverses situations concrètes (réseaux sociaux, internet, propagation d’épidémies etc.). Mots clefs : distance, loi binomiale, inégalité de Markov.

 

2015-A4 On présente un modèle unimensionnel de déposition de particules, que l’on assimile à une chute de neige, pour lequel on recherche le comportement asymptotique de la hauteur. Mots clefs : Lois des grands nombres, loi de Poisson, loi géométrique.

2015-A5 En informatique, il est courant de manipuler des listes de nombres. Leur classement en ordre croissant, la recherche du k-ième élément (le plus petit, avec k ∈ N∗ ) figurent parmi les procédures les plus usuelles. Nous allons présenter dans ce texte des algorithmes aléatoires permettant d’effectuer ces opérations, puis nous aborderons l’étude de leurs performances. Mots clefs : Algorithme aléatoire, bornes de Tchebychev, martingale à temps discret.

2015-A6 L’objet de ce texte est de présenter une méthode non paramétrique pour estimer un signal entaché d’erreurs dans le cadre d’un modèle de régression avec dispositif expérimental régulier. Un exemple en vibrométrie laser est donné. Mots clefs : Régression, estimation, projection.

2015-A7 On étudie plusieurs modèles du déplacement des fourmis. On tente en particulier de comprendre comment l’algorithme aléatoire qu’elles utilisent les amène à choisir un chemin parmi tous ceux leurs sont offerts et à s’y tenir. Mots clefs : Marches au hasard, martingales.

2015-A8 On présente quatre algorithmes de génération de permutations aléatoires. Les trois premiers construisent des permutations quelconques et le quatrième produit des permutations à cycles de longueur paire. L’analyse de ces algorithmes permet d’étudier les lois de certaines quantités liées à ces permutations : rangs relatifs, nombres de points fixes, nombres de cycles, longueurs de ces cycles. Mots clefs : Cycle, permutation, loi de Poisson, fonction caractéristique, fonction génératrice, convergence en loi.

2015-A9 Ce texte présente une modélisation d’un paysage politique au moyen de partitions aléatoires. On considère un pays imaginaire constitué d’un grand nombre de citoyens, que l’on suppose infini. Ces citoyens se regroupent progressivement en partis politiques avec un mécanisme aléatoire tenant compte de l’ambition. Le paysage politique correspond à la répartition des citoyens en partis politiques. Le texte a pour but la modélisation et l’étude probabiliste de l’évolution de ce paysage et de son comportement asymptotique, ainsi que l’estimation statistique d’un paramètre lié à l’ambition. Mots clefs : Partition aléatoire, loi de Bernoulli, estimateur, chaîne de Markov.